Видео учител - Форум

Алгебра (9-12 клас) => 12 клас => Темата е започната от: rocknmather в Март 12, 2010, 07:47:02



Титла: Сложно на вид уравнение
Публикувано от: rocknmather в Март 12, 2010, 07:47:02
x^4 + 1 = 2(2x-1)^{\frac{1}{4}}

Колко корена има?


Титла: Re:Сложно на вид уравнение
Публикувано от: martosss в Април 17, 2010, 10:18:23
Хм, да пробваме така:
D.S. x\ge \frac{1}{2}, после при x=1 имаме равенство.

1) x>1
От неравенството между средно-аритметичното и средно-геометричното получаваме, че \frac{(2x-1)+1+1+1}{4}\ge \sqrt[4]{2x-1}\Right x+1\ge 2\sqrt[4]{2x-1}

Сега при x>1 \Right x^4+1>x+1\ge 2\sqrt[4]{2x-1}, тоест нямаме равенство.

2) x<1, тогава имаме 2x-1>\sqrt[4]{2x-1}
Сега от СА-СГ получаваме x^4+1+1+1\ge 4x\Right x^4+1\ge 2(2x-1)>2\sqrt[4]{2x-1}
Оттук отново получаваме, че равенство не се достига.
Окончателно равенство имаме само при х=1. :P